План

Лекция 1.

§1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел.: 1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация.; 2. Последовательности комплексных чисел. Понятие предела последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел. Критерий Коши. Понятие z- бесконечно удаленной точки.

§2. Понятие функции комплексной переменной.: 1. Множество задания функции комплексной переменной- понятие области комплексной переменной.; 2. Множество значений функции комплексной переменной. Отображение g-D.; 3. Однолистность функции комплексной переменной.; 4. Задание f(z)=u(x,y)+iv(x,y)- одновременное задание двух функций действительной переменной в области g.

§3. Непрерывность функции комплексной переменной.: 1. Понятие предела функции комплексной переменной (по Гейне и по Коши).; 2. Непрерывность функции комплексной переменной в точке, в области и на кривой.

Лекция 2.

3. Равномерная непрерывность в ограниченной замкнутой области (Теорема).

§4. Дифференцирование функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции комплексной переменной.: 1. Теорема 1) Условия Коши-Римана.
Теорема 2) Достаточные условия дифференцируемости f(z) в точке z₀Оg; 2. Определение f(z) аналитической в области g.
Теорема 3) Необходимое и достаточное условие аналитичности f(z) в g.
Замечание о возможности опустить условие f'(z)О C(g).; 3. Свойства аналитической функции комплексной переменной.

Лекция 3.

§5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.: 1. Вспомогательные положения. Кусочно-гладкая кривая. Криволинейные интегралы II рода.; 2. Определение интеграла от функции комплексной переменной.; 3. Свойства f(z)dz.

§6. Теорема Коши.: 1. Вспомогательные положения. Квадрируемая область. Формула Грина.; 2. Теорема Коши. Случай многосвязной области.; 3. Неопределенный интеграл функции комплексной переменной. Свойства неопределенного интеграла функции комплексной переменной. Формула Коши-Адамара.

Лекция 4.

§7. Интеграл Коши.: 1. Интегральная формула Коши.; 2. Следствия: а) Формула среднего значения, б) Принцип максимума модуля.

§8. Интеграл типа Коши.: 1. Определение. F(z) - аналитическая функция комплексной переменной на всей комплексной плоскости кроме кривой C.; 2. Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.; 3. Теоремы Морера и Лиувилля.

Лекция 5.

§9. Интегралы, зависящие от параметра.: 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Достаточные условия существования.; 2. Основная теорема F(z)ОC(g).

§10. Ряды аналитических функций.: 1. Числовые ряды.; 2. Понятие функционального ряда.; 3. Равномерная сходимость еu_n(z) в области g.; 4. Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы. Возможность почленного интегрирования.
Теорема Вейерштрасса. II теорема Вейерштрасса.

Лекция 6.

§11. Степенные ряды.: 1. Теорема Абеля. Следствия теоремы Абеля.; 2. Теорема Тейлора.

§12. Единственность определения аналитической функции.: 1. Понятие правильной и особой точки функции.; 2. Нули аналитической функции. Теорема о нулях аналитической функции.; 3. Теорема единственности.

Лекция 7.

§13. Понятие аналитического продолжения.: 1. Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей.; 2. Теорема. На границе круга сходимости степенного ряда найдется хотя бы одна особая точка аналитической функции комплексной переменной - суммы ряда; 3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.

§14. Аналитическое продолжение с действительной оси.: 1. Элементарные функции комплексной переменной - аналитическое продолжение с действительной оси элементарных функций действительной переменной.

Лекция 8.

2. Аналитическое продолжение соотношений.

3. Понятие Римановой поверхности как области задания обратной многозначной функции для многолистной функции на примере функций w = f(z) = e^z и z = Ln(w).

4. Понятие точки ветвления.

Лекция 9.

§15. Ряд Лорана.: 1. Кольцо сходимости ряда Лорана.; 2. Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.: 1. Устранимые особые точки. Полюс.; 2. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

§17. Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке.: 1. Основная теорема теории вычетов.; 2. Формулы вычисления Выч[f(z),z₀] в полюсе.; 3. Вычет f(z) в z

Лекция 10.

§18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.: 1. Лемма 1. Теорема 1. Примеры.; 2. Лемма 2 (Жордана). Теорема 2. Примеры.

§19. Логарифмический вычет.: 1. Определение. Формула подсчета числа нулей и полюсов
f(z)О C ( \z₁,┘z_N), f(z)ч_g0.; 2. Теорема Руше и основная теорема высшей алгебры.

Лекция 11.

§20. Конформные отображения.

1. Геометрический смысл f ' (z₀)

0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точке.

2. Основное определение конформного отображения g<=> D. Необходимое и достаточное условие конформности отображения области g на область D.
Теорема. Если f(z)- однолистна и аналитична в g, то f ' (z₀)

3. Основные принципы конформных отображений.

1. Принцип соответствия границ.

2. Теорема Римана. Формулировка, замечания. Условия единственности конформного отображения односвязной области g, граница которой состоит более чем из одной точки на единичный круг.

4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.

1. Дробно-линейная функция

2. Функция Жуковского.

Лекция.12

5. Связь аналитической функции комплексной переменной и гармонической функции двух действительных переменных.

6. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении.

7. Применение конформных отображений в задачах электростатики. Задача Робэна - распределение заряда на проводящем контуре.

§21. Основные понятия операционного исчисления.: 1. Понятие одностороннего преобразования Лапласа.
Основная теорема F(p)О C (Re(p) >a).; 2. Свойства F(p) и изображения простейших функций.

Лекция 13.

3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом. Использование формулы для преобразования свертки функций действительной переменной.

4. Теорема Меллина.

5. Изображение произведения.

Лекция 14.

§22. Метод перевала.

ЛИТЕРАТУРА